Trabajo 22

Tienen la esfera de centro en el origen y radio 1: x^2+y^2+z^2=1  y el plano XY (esto es z=0) que corta a la esfera. Considere el punto N(0,0,1) desde el cual se tiran líneas hacia puntos de la esfera. Esa recta corta al plano XY en un punto (\tilde x, \tilde y, 0). Esta correspondencia se conoce como la proyección estereográfica.

1. Determine la correspondencia de \tilde x, \tilde y en términos de (x,y,z)
2. Determine el mapeo inverso. Esto es, dado un punto (\tilde x, \tilde y, 0) sobre el plano XY encuentre el punto (x,y,z) sobre la esfera.
3. Usando el resultado 2. compruebe que la recta  x+6y-4=0; z=0 le corresponde un círculo de la esfera.
4. Grafique los planos que requiera, la esfera y el círculo obtenido en 3. (Use k3DSurf )

Se entrega el miércoles 24 en el horario de clases.

Lectura 7

Lo que veremos el día de mañana lo pueden seguir desde ahora en: lectura7.pdf

Es útil para el trabajo del viernes y para el problema 3 del mismo que se les dejará mañana.

Trabajo 22

Problema 1: Para la cónica -13x^2+28xy-25y^2-51x+99y+4=0 calcule la recta tangente a la cónica en el punto (2,5)

Problema 2: Calcule el plano tangente a la cuádrica x^2+y^2+z^2-3x+2y-z-12=0 en el punto (1,2,3).

Respuestas al trabajo 21

Algo que es interesante en este momento es comprobar que las operaciones entre las matrices ortonormal, la original y la primera con la matriz diagonal son la misma, es es el teorema espectral. Cosa que Niño lo hizo correcto y Ochoa dejó la expresión esperando que el lector hiciera las operaciones. Les dejo ambos trabajos escaneados para su juicio: resp21a.pdf y resp21b.pdf

Una respuesta al trabajo 20

de Luis Niño

Trabajo 21

Tienen la cuádrica escrita en la forma:

(x+y-z)^2 + (x-2y)^2 + (z+4y)^2 = 2013

1. Escriba la cuádrica en forma Matricial   Q(p) = p^tA+p + \gamma
2. Aplique el teorema espectral.
3. Grafique la cuádrica.

Eso es todo.

Tip: De usar k3dsurf ... recuerden que esa cosa viene en "cajita" usen una caja para los límites de las X, de las Y y Z adecuado (grande) y en Grid resolution pidan una malla grande (deslizen el botón hacia abajo xyz ... paa ambas direcciones).

Respuestas a los trabajos 16 y 19

Trabajo 16

Trabajo19

Trabajo 20

Para las cónicas

• 37x^2+18xy+13y^2-406x-142y+1057=0
• 23x^2+30xy-49y^2+18x+482y-946=0

1. Encuentre su centro
2. Transforme el problema a una cuadrátrica sin términos lineales.
3. Resuelva el problema de valores propios y vectores propios Au = \lambda u.
4. Describa las ecuaciones de los ejes de simetría de la cónica, si tiene alguno.
5. Transforme la cónica a una suma de cuadrados usando 3), si esto es posible.
6. Cuál es el ángulo de rotación de los ejes con respecto al eje x usual? Elija un eje del cónica.
7. Encuentre la posición de los focos en el sistemas XY original.
8. Encuentre el tamaño de los ejes.
9. Trace la cónica con geogebra o algún otro programa y señale los vectores propios, los ejes, los focos, etc.

Su entrega es el lunes antes del primer minuto de clase..

Lectura 6

Lo que veremos en unos mins. ya puede ser consultado desde ahora: lectura6.pdf

Trabajo 19

Para la ecuación de la cónica

13x^2 - 8xy + 7y^2 - 46x-32y+100=0

1. Encuentre: su centro, si es que lo tiene.
2. Transforme el problema a una cuadrátrica sin términos lineales.
3. Resuelva el problema de valores propios y vectores propios Au = \lambda u.
4. Describa las ecuaciones de los ejes de simetría de la cónica, si tiene alguno.
5. Transforme la cónica a una suma de cuadrados usando 3), si esto es posible.
6. Cuál es el ángulo de rotación de los ejes con respecto al eje x usual? Elija un eje.
7. Es una elipse, una hipérbola, acaso es una parábola? se trata de una cónica degenerada?

Se entrega el viernes sin falta.

Trabajo 16

Describa las curvas de nivel para

1.  h(x,y)=-15x^2-22xy+5y^2+20x-4y -4 = cte.
2. h(x,y)=5x^2+2xy+y^2-4x-4y+2=cte

Sugerencia: complete cuadrados y realice el análisis visto en clase, luego usando geogebra compruebe sus resultados, es decir, grafique y analice la forma de las curvas. Observe que el centro es el mismo para todas las cte donde exista la cónica.